Montrer qu'un quadrilatère \(ABCD\) est convexe si et seulement si les diagonales \([AC]\) et \([BD]\) se rencontrent

Schéma + énumération des zones possibles pour le dernier point


Si \((ABCD)\) est convexe, alors \(D\) est extérieur à \((ABC)\) et pas sur les côtés. Il est dans l'une des zones \(1,\ldots,6\)

• si c'était \(3\), \(B\) serait intérieur à \((ADC)\)
• de même pour \(1\) et \(5\)
• si c'était \(2\), \([AD]\) couperait \([BC]\)
• de même avec \(4\), \([CD]\) couperait \([AB]\)

La seule zone possible est donc la \(6\)

Soit \(ABCD\) un quadrilatère non croisé
Montrer que si \(ABCD\) est inscrit dans un cercle, alors \(ABCD\) est convexe (et ses diagonales se coupent en un point)

Schéma

Non dégénéré et non croisé
Sur un cercle, il n'y a pas trois points alignés, donc \(ABCD\) est non dégénéré
De plus, par hypothèse de l'exercice, \(ABCD\) est non croisé

Point pas intérieur au triangle : par l'absurde

Il reste à montrer que \(D\) n'est pas intérieur à \((ABC)\) :
Si on avait \(D\) intérieur au triangle, alors \((BD)\) couperait \([AC]\) en un point \(E\) et \(E\) serait sur une corde \([AC]\)
C'est impossible car les cordes sont intérieures au cercle

Soit \(ABCD\) un quadrilatère non croisé
Montrer que le quadrilatère \(ABCD\) est inscrit dans un cercle \(\implies\) \(ABCD\) est convexe et \(\widehat{ABC}+\widehat{CDA}=\pi\) (ou \(\widehat{DAB}+\widehat{BCD}=\pi\))

Si \(ABCD\) est inscrit dans un cercle et est non croisé, alors il est convexe d'après l'exercice précédent
De plus, \(\widehat{ABC}+\widehat{CDA}=\pi\) (angle plat)

Soit \(ABCD\) un quadrilatère non croisé
Montrer que \(ABCD\) est convexe et \(\widehat{ABC}+\widehat{CDA}=\pi\) (ou \(\widehat{DAB}+\widehat{BCD}=\pi\)) si et seulement si \([AC]\) et \([BD]\) se coupent en \(S\) et $$AS\times SC=BS\times SD$$

Définir l'intersection de \([AC]\) et \([BD]\)
\(B\) et \(D\) ne sont pas du même côté de \((AC)\), donc \([BD]\) coupe \((AC)\)
De même, \([AC]\) coupe \((BD)\)
Notons \(\{S\}=[BD]\cap[AC]\)

Relation via la puissance

De plus on a :$$AS\times SC=-P_{\varphi}(S)=BS\times SD$$

(Puissance d'un point par rapport à un cercle)